Calcule a integral.
integral x cos (5 x) d x
integral ln (raiz[3]x) d x
integral z^3 e^z d z
integral(arcsen(x))^2 d x
integral0^1 / 2 x cos (pi x) d x
integral0^2 y senh(y) d y
integral1^2 w^2 ln (w) d w
integral0^pi x sen(x) cos (x) d x
integral0^pi / 3 sen(x) ln (cos (x)) d x
integral0^1 r^3raiz4+r^2 d r
integral0^1 / 2 cos ^-1(x) d x
integral0^t e^s sen(t-s) d s

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de doze integrais, algumas indefinidas e outras definidas, envolvendo técnicas como integração por partes, troca de variável e uso de identidades (por exemplo, sen 2x), além de um integral de convolução. Vamos aplicar cada técnica de forma organizada para cada caso.

Passo 2

Integrais indefinidas por partes mais diretas:
  1. Para integral xcos(5x),dx usamos u=x, dv=cos(5x),dx.
    Então du=dx, v=tfrac15sin(5x), e
    integral xcos(5x),dx =xcdottfrac15sin(5x)-integral tfrac15sin(5x),dx =tfrac15xsin(5x)+tfrac125cos(5x)+C
  2. Para integral z^3 e^z,dz usamos repetidas vezes u=z^k, dv=e^z,dz. O resultado conhecido é
    integral z^3 e^z,dz =e^zl(z^3-3z^2+6z-6r)+C
  3. Para integral(arcsin x)^2,dx fazemos u=(arcsin x)^2, dv=dx. Isso leva a um integral intermediário que, após a troca t=arcsin x, dá
    integral(arcsin x)^2,dx =x(arcsin x)^2+2arcsin xraiz1-x^2-2x+C

Passo 3

Integral indefinida simples por reescrita:
integral lnl(raiz[3]xr),dx =integraltfrac13ln x,dx =tfrac13l(xln x - xr)+C =tfracx3ln x-tfracx3+C

Passo 4

Integrais definidas por partes em intervalos dados:
  1. integral0^1/2xcos(pi x),dx. Com u=x, dv=cos(pi x),dx, obtemos
    integral0^1/2xcos(pi x),dx =12pi-1pi^2
  2. integral0^2y,sinh y,dy. Com u=y, dv=sinh y,dy, dá
    integral0^2y,sinh y,dy =2cosh(2)-sinh(2)
  3. integral1^2w^2ln w,dw. Com u=ln w, dv=w^2,dw, resulta
    integral1^2w^2ln w,dw =83ln2-79

Passo 5

Outros integrais definidos:
  1. integral0^pixsin xcos x,dx. Usando sin xcos x=tfrac12sin(2x) e partes, achamos
    integral0^pixsin xcos x,dx =-pi4
  2. integral0^pi/3sin xlnl(cos xr),dx. Por partes com u=lncos x, dv=sin x,dx, vem
    integral0^pi/3sin xlncos x,dx =12ln2-12
  3. integral0^1r^3raiz4+r^2,dr. Com u=4+r^2, reduz-se a potências de u e dá
    integral0^1r^3raiz4+r^2,dr =16-7raiz53

Passo 6

Integral de arco-cosseno por partes:
integral0^1/2arccos x,dx =pi6+1-raiz32

Passo 7

Integral de convolução integral0^te^ssin(t-s),ds. Fazendo substituição e usando fórmula de integral e^ausin(bu),du, resulta
integral0^te^ssin(t-s),ds =e^t-sin t-cos t2

Resposta

(a) integral xcos(5x),dx=15xsin(5x)+125cos(5x)+C
(b) integral lnl(raiz[3]xr),dx=x3ln x-x3+C
(c) integral z^3 e^z,dz=e^zl(z^3-3z^2+6z-6r)+C
(d) integral(arcsin x)^2,dx =x(arcsin x)^2+2arcsin xraiz1-x^2-2x+C
(e) integral0^1/2xcos(pi x),dx=12pi-1pi^2
(f) integral0^2y,sinh y,dy=2cosh(2)-sinh(2)
(g) integral1^2w^2ln w,dw=83ln2-79
(h) integral0^pixsin xcos x,dx=-pi4
(i) integral0^pi/3sin xlncos x,dx=12ln2-12
(j) integral0^1r^3raiz4+r^2,dr=16-7raiz53
(k) integral0^1/2arccos x,dx=pi6+1-raiz32
(l) integral0^te^ssin(t-s),ds=e^t-sin t-cos t2

Exercícios relacionados