Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de doze integrais, algumas indefinidas e outras definidas, envolvendo técnicas como integração por partes, troca de variável e uso de identidades (por exemplo, sen 2x), além de um integral de convolução. Vamos aplicar cada técnica de forma organizada para cada caso.
Passo 2
Integrais indefinidas por partes mais diretas:
-
Para
usamos , .
Então, , e -
Para
usamos repetidas vezes , . O resultado conhecido é -
Para
fazemos , . Isso leva a um integral intermediário que, após a troca , dá
Passo 3
Integral indefinida simples por reescrita:
Passo 4
Integrais definidas por partes em intervalos dados:
-
. Com , , obtemos -
. Com , , dá -
. Com , , resulta
Passo 5
Outros integrais definidos:
-
. Usando e partes, achamos -
. Por partes com , , vem -
. Com , reduz-se a potências de e dá
Passo 6
Integral de arco-cosseno por partes:
Passo 7
Integral de convolução
. Fazendo substituição e usando fórmula de
, resulta
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)