Calcule a integral.
integral e^raizx d x
integral x ln (1+x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas:
  1. integral e^raizx,dx, usando técnica de substituição e depois integração por partes;
  2. integral xln(1+x),dx, usando integração por partes e divisão polinomial.

Passo 2

Para integral e^raizx,dx, fazemos a substituição
t = raizx, x = t^2, dx = 2t,dt
Isso transforma
integral e^raizx,dx = integral e^tcdot 2t,dt = 2integral t,e^t,dt
Agora aplicamos integração por partes em integral t,e^t,dt: escolha
u = t, dv = e^t,dtLongrightarrow du = dt, v = e^t
Logo
integral t,e^t,dt = t,e^t - integral e^t,dt = t,e^t - e^t + C,
e assim
2integral t,e^t,dt = 2l(t,e^t - e^tr) + C = 2e^t,(t - 1) + C
Substituindo t=raizx, obtemos
integral e^raizx,dx = 2e^raizxl(raizx-1r) + C

Passo 3

Para integral xln(1+x),dx, usamos integração por partes:
u = ln(1+x), dv = x,dx Longrightarrow du = 11+x,dx, v = x^22
Então
integral xln(1+x),dx = x^22ln(1+x) - integral x^22cdot11+x,dx = x^22ln(1+x) - 12integralx^21+x,dx
Fazemos divisão polinomial:
x^21+x = x - 1 + 11+x,
logo
integralx^21+x,dx = integrall(x-1r),dx + integral11+x,dx = x^22 - x + ln(1+x) + C
Substituindo de volta,
integral xln(1+x),dx = x^22ln(1+x) - 12l(x^22 - x + ln(1+x)r) + C,
e simplificando,
integral xln(1+x),dx = x^22ln(1+x) - x^24 + x2 - 12ln(1+x) + C

Resposta

integral e^raizx,dx = 2e^raizxl(raizx-1r) + C,
integral xln(1+x),dx = x^22ln(1+x) - x^24 + x2 - 12ln(1+x) + C

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