Calcule a integral.
integral cos ^3(t / 2) sen^2(t / 2) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos^3l(tfrac t2r),sen^2l(tfrac t2r),dt. O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade cos^2theta=1-sen^2theta junto com uma substituição simples.

Passo 2

Para lidar com cos^3(tfrac t2), escrevemos cos^3l(tfrac t2r)=cos^2l(tfrac t2r)cdotcosl(tfrac t2r). Usando a identidade trigonométrica temos:
cos^2l(tfrac t2r)=1-sen^2l(tfrac t2r)
Então a integral vira
integral l(1-sen^2(tfrac t2)r),cos(tfrac t2),sen^2(tfrac t2),dt

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=sen(tfrac t2). Diferenciando,
du=tfrac12cosl(tfrac t2r),dt Longrightarrow cosl(tfrac t2r),dt=2,du
Substituindo na integral, temos
integral l(1-u^2r)u^2cdot 2,du =2integrall(u^2-u^4r)du

Passo 4

Agora basta integrar o polinômio em u:
2integrall(u^2-u^4r)du =2l(u^33-u^55r)+C = 2u^33-2u^55+C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original usando u=sen(tfrac t2). A resposta fica
2,sen^3(tfrac t2)3 - 2,sen^5(tfrac t2)5 + C

Resposta

2,sen^3(tfrac t2)3 - 2,sen^5(tfrac t2)5 + C

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