Questão 2 (2,0 pontos ) a) (Vr. 1,0 ponto) a)(Vr. 1,0 ponto) Considere o problema
ccc y^prime(t)+y(t) & = & f(t), y(0) & = & 5 onde f(t)=ccc 0 & se & 0 <= t= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’(t) + y(t) = f(t) $ com a condição inicial $ y(0) = 5 $. Aqui, $ f(t) $ muda conforme o valor de $ t $: é zero quando $ t $ está entre 0 e $ \pi $, e igual a $ 3 \cos t $ quando $ t $ é maior ou igual a $ \pi $. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para o intervalo onde $ 0 \leq t < \pi $ e $ f(t) = 0 $. A equação fica:
0 <= t < pi
Essa é uma equação linear homogênea. Para resolver, encontramos o fator integrante $ \mu(t) = e^{\int 1 , dt} = e^{t} $.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^t y'(t) + e^t y(t) = 0
Isso simplifica para:
ddt ( e^t y(t) ) = 0
Integrando ambos os lados:
e^t y(t) = C
Onde $ C $ é a constante de integração. Então:
C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 5 $:
y(0) = 5
Então, a solução para $ 0 \leq t < \pi $ é:
5 = C e^0 Rightarrow C = 5

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ t \geq \pi $ onde $ f(t) = 3 \cos t $. A equação fica:
t >= pi
Usamos novamente o fator integrante $ \mu(t) = e^{t} $.

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^t y'(t) + e^t y(t) = 3 e^t cos t
Isso simplifica para:
ddt ( e^t y(t) ) = 3 e^t cos t
Integrando ambos os lados:
e^t y(t) = 3 integral e^t cos t , dt + C

Passo 7

A integral $ \int e^{t} \cos t , dt $ pode ser resolvida usando integração por partes ou fórmulas de integrais padrão, resultando em:
integral e^t cos t , dt
Então:
integral e^t cos t , dt = e^t2 (sin t + cos t)
Dividindo por $ e^{t} $:
e^t y(t) = 3 e^t2 (sin t + cos t) + C

Passo 8

Para encontrar a constante $ C $, usamos a continuidade da solução em $ t = \pi $:
C
Igualando com $ y(\pi^+) $:
t = pi
Sabendo que $ \sin \pi = 0 $ e $ \cos \pi = -1 $:
y(pi^-) = 5 e^-pi
Simplificando:
y(pi^+)
Resolvendo para $ C $:
5 e^-pi = 32 (sin pi + cos pi) + C e^-pi

Resposta

A solução para $ t \geq \pi $ é:
t >= pi

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