Questão
pontos
a) (Vr. 1,0 ponto) a)(Vr. 1,0 ponto) Considere o problema
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’(t) + y(t) = f(t) $ com a condição inicial $ y(0) = 5 $. Aqui, $ f(t) $ muda conforme o valor de $ t $: é zero quando $ t $ está entre 0 e $ \pi $, e igual a $ 3 \cos t $ quando $ t $ é maior ou igual a $ \pi $. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para o intervalo onde $ 0 \leq t < \pi $ e $ f(t) = 0 $. A equação fica:
Essa é uma equação linear homogênea. Para resolver, encontramos o fator integrante $ \mu(t) = e^{\int 1 , dt} = e^{t} $.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração. Então:
Passo 4
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 5 $:
Então, a solução para $ 0 \leq t < \pi $ é:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ t \geq \pi $ onde $ f(t) = 3 \cos t $. A equação fica:
Usamos novamente o fator integrante $ \mu(t) = e^{t} $.
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
A integral $ \int e^{t} \cos t , dt $ pode ser resolvida usando integração por partes ou fórmulas de integrais padrão, resultando em:
Então:
Dividindo por $ e^{t} $:
Passo 8
Para encontrar a constante $ C $, usamos a continuidade da solução em $ t = \pi $:
Igualando com $ y(\pi^+) $:
Sabendo que $ \sin \pi = 0 $ e $ \cos \pi = -1 $:
Simplificando:
Resolvendo para $ C $:
Resposta
A solução para $ t \geq \pi $ é: