Encontre o valor da constante a para que a função abaixo seja contínua no ponto 2.
f(x)=c x^2-x(a+2)+2 ax-2, se x neq 2 5+a, se x=2
(2.5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor da constante $ a $ de modo que a função $ f(x) $ seja contínua no ponto $ x = 2 $. Isso envolve o conceito de continuidade de funções, que basicamente significa que não deve haver “saltos” ou “interrupções” no gráfico da função nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de $ x = 2 $ e assegurar que o valor da função nesse ponto seja igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) $. Ela é definida de forma diferente para $ x \neq 2 $ e para $ x = 2 $:
f(x)
Para garantir que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 2 $, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 deve ser igual ao valor de $ f(2) $, que é $ 5 + a $.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2. Olhando para a parte da função onde $ x \neq 2 $:
f(x)
Vamos simplificar o numerador:
x
Agora, tentamos fatorar o numerador. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão $ 2a $ e somados dão $ -(a + 2) $. Observando, vemos que $ (x - 2)(x - a) $ funciona:
x neq 2
Então, podemos reescrever a expressão original como:
x^2 - x(a + 2) + 2ax - 2
Para $ x \neq 2 $, podemos cancelar $ x - 2 $:
x^2 - x(a + 2) + 2a = x^2 - a x - 2x + 2a = x^2 - (a + 2)x + 2a

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão para $ x \neq 2 $ como $ x - a $, o limite quando $ x $ se aproxima de 2 é simplesmente:
x neq 2

Passo 5

Para que a função seja contínua em $ x = 2 $, esse limite deve ser igual ao valor da função em $ x = 2 $, que é $ 5 + a $. Portanto, temos a equação:
x = 2

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ a $:
a

Resposta

O valor da constante $ a $ que torna a função contínua em $ x = 2 $ é $ a = -\frac{3}{2} $.

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