Calcule a integral.
integral cos theta cos ^5(sin theta) d theta

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral costheta,cos^5(sintheta),dtheta. O conteúdo principal aqui é integração por substituição em funções compostas.

Passo 2

Para resolver, fazemos a primeira substituição definindo u = sintheta. Então du = costheta,dtheta, ou seja, costheta,dtheta = du.

Passo 3

Substituindo em integral costheta,cos^5(sintheta),dtheta, obtemos
integral cos^5(u),du
Agora precisamos integrar cos^5(u).

Passo 4

Para integrar cos^5(u), usamos a identidade cos^5(u) = (1 - sin^2(u))^2cos(u) e fazemos uma segunda substituição: seja t = sin(u), então dt = cos(u),du. A integral fica
integral (1 - t^2)^2,dt = integral (1 - 2t^2 + t^4),dt
Expandindo e integrando termo a termo, temos
integral 1,dt = t,
integral (-2t^2),dt = -tfrac23t^3,
integral t^4,dt = tfrac15t^5
Somando tudo, dá
$$
t - \tfrac{2}{3}t^3 + \tfrac{1}{5}t^5 + C.$$

Passo 5

Voltando às variáveis originais: lembrando que t = sin(u) e u = sintheta, chegamos à resposta
sin(sintheta) - tfrac23sin^3(sintheta) + tfrac15sin^5(sintheta) + C

Resposta

\sin(\sin\theta) - \tfrac{2}{3}\sin^3(\sin\theta) + \tfrac{1}{5}\sin^5(\sin\theta) + C

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