Calcule a integral.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral
. O conteúdo principal aqui é integração por substituição em funções compostas.
Passo 2
Para resolver, fazemos a primeira substituição definindo
. Então
, ou seja,
.
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
Agora precisamos integrar
.
Passo 4
Para integrar
, usamos a identidade
e fazemos uma segunda substituição: seja
, então
. A integral fica
Expandindo e integrando termo a termo, temos
Somando tudo, dá
$$
t - \tfrac{2}{3}t^3 + \tfrac{1}{5}t^5 + C.$$
Passo 5
Voltando às variáveis originais: lembrando que
e
, chegamos à resposta
Resposta
\sin(\sin\theta) - \tfrac{2}{3}\sin^3(\sin\theta) + \tfrac{1}{5}\sin^5(\sin\theta) + C