Encontre a área da região delimitada pelas curvas y=x^2 e^-x e y=x e^-x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelas três curvas y = x², y = e^(−x) e y = x e^(−x). O conteúdo é determinação de área entre curvas e vamos precisar: 1) achar os pontos de interseção relevantes, 2) entender qual curva é limite superior e inferior em cada intervalo de x, 3) montar integrais para a área e 4) calcular essas integrais (usando partes onde for preciso).

Passo 2

Primeiro encontramos as interseções. Há três curvas, mas a região fechada usa só os fragmentos entre os pontos onde:
  1. y = x e^(−x) e y = x² se cruzam em x₁ em que x₁² = x₁ e^(−x₁). Tirando x₁ = 0, divide por x₁ ≠ 0 e dá x₁ = e^(−x₁). Isso é solução de x e^x = 1, logo x₁ = W(1) ≈ 0,567143.
  2. y = x² e y = e^(−x) se cruzam em x₂ tal que x₂² = e^(−x₂). Isso leva a x₂ e^(x₂/2)=1 e portanto x₂ = 2W(1/2) ≈ 0,703467.
  3. y = e^(−x) e y = x e^(−x) se cruzam em x₃ tal que e^(−x₃) = x₃ e^(−x₃), i.e. x₃ =1.

Passo 3

Entre x₁ e x₂ a região está entre as curvas y_inf = x e^(−x) e y_sup = x². Entre x₂ e x₃ a região está entre y_inf = x e^(−x) e y_sup = e^(−x).

Passo 4

Montamos então a área A como soma de duas integrais:
$$A = \int_{x_1}{x_2}\bigl(x2 - x e^{-x}\bigr),dx
   + \int_{x_2}^{1}\bigl(e^{-x} - x e^{-x}\bigr)\,dx.$$

Passo 5

Calculamos a primeira integral:
integral (x^2 - x e^-x),dx = x^33 + (x+1)e^-x + C,
pois integral x e^-xdx = -(x+1)e^-x. Avaliando de x₁ a x₂:
I1 = l[x^33+(x+1)e^-xr]x1^x2

Passo 6

Para a segunda:
integral (e^-x-x e^-x)dx = integral e^-xdx - integral x e^-xdx = -e^-x + (x+1)e^-x = x e^-x
Logo
I2 = l[x e^-xr]x2^1 = e^-1 - x2 e^-x2

Passo 7

Usamos que em x₂ vale e^{-x₂} = x₂² e assim x₂ e^{-x₂} = x₂^3. Em x₁ vale e^{-x₁}=x₁. Substituindo:
I1 = l(x2^33 + (x2+1)x2^2r) - l(x1^33 + (x1+1)x1r) = x2^33+x2^3+x2^2-x1^33-x1^2-x1,
I2 = e^-1 - x2^3

Passo 8

Somando A = I_1 + I_2 e simplificando:
A = l(x2^33+x2^3+x2^2-x1^33-x1^2-x1r) + l(e^-1-x2^3r) = x2^33+x2^2-x1^33-x1^2-x1+e^-1

Passo 9

Finalmente inserimos os valores numéricos x₁ ≈ 0,567143 e x₂ ≈ 0,703467 e e^{-1} ≈ 0,367879. Fazendo as contas, obtemos aproximadamente
A approx 0,02907

Resposta

A ≈ 0,02907

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