Encontre a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pelas três curvas y = x², y = e^(−x) e y = x e^(−x). O conteúdo é determinação de área entre curvas e vamos precisar: 1) achar os pontos de interseção relevantes, 2) entender qual curva é limite superior e inferior em cada intervalo de x, 3) montar integrais para a área e 4) calcular essas integrais (usando partes onde for preciso).
Passo 2
Primeiro encontramos as interseções. Há três curvas, mas a região fechada usa só os fragmentos entre os pontos onde:
- y = x e^(−x) e y = x² se cruzam em x₁ em que x₁² = x₁ e^(−x₁). Tirando x₁ = 0, divide por x₁ ≠ 0 e dá x₁ = e^(−x₁). Isso é solução de x e^x = 1, logo x₁ = W(1) ≈ 0,567143.
- y = x² e y = e^(−x) se cruzam em x₂ tal que x₂² = e^(−x₂). Isso leva a x₂ e^(x₂/2)=1 e portanto x₂ = 2W(1/2) ≈ 0,703467.
- y = e^(−x) e y = x e^(−x) se cruzam em x₃ tal que e^(−x₃) = x₃ e^(−x₃), i.e. x₃ =1.
Passo 3
Entre x₁ e x₂ a região está entre as curvas y_inf = x e^(−x) e y_sup = x². Entre x₂ e x₃ a região está entre y_inf = x e^(−x) e y_sup = e^(−x).
Passo 4
Montamos então a área A como soma de duas integrais:
$$A = \int_{x_1}{x_2}\bigl(x2 - x e^{-x}\bigr),dx
+ \int_{x_2}^{1}\bigl(e^{-x} - x e^{-x}\bigr)\,dx.$$
Passo 5
Calculamos a primeira integral:
pois
Passo 6
Para a segunda:
Logo
Passo 7
Usamos que em x₂ vale e^{-x₂} = x₂² e assim x₂ e^{-x₂} = x₂^3. Em x₁ vale e^{-x₁}=x₁. Substituindo:
Passo 8
Somando A = I_1 + I_2 e simplificando:
Passo 9
Finalmente inserimos os valores numéricos x₁ ≈ 0,567143 e x₂ ≈ 0,703467 e e^{-1} ≈ 0,367879. Fazendo as contas, obtemos aproximadamente
Resposta
A ≈ 0,02907