Calcule a integral.
integral sin ^2(pi x) cos ^5(pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^2(pi x),cos^5(pi x),dx. O tema é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Fazendo a substituição u = sin(pi x), temos du = picos(pi x),dx, logo cos(pi x),dx = tfrac1pi,du. Também escrevemos cos^5(pi x)=cos^4(pi x)cos(pi x)=(1-u^2)^2cdotcos(pi x). Assim,
a integral vira
integral sin^2(pi x)cos^5(pi x),dx = integral u^2,(1-u^2)^2cdot1pi,du = 1piintegral (u^2 - 2u^4 + u^6),du
Basta agora integrar termo a termo:
integral (u^2 - 2u^4 + u^6),du = u^33 - 2u^55 + u^77 + C
Voltando a x com u=sin(pi x), obtemos a forma final da antiderivada.

Resposta

integral sin^2(pi x)cos^5(pi x),dx = 1pil(sin^3(pi x)3 - 2,sin^5(pi x)5 + sin^7(pi x)7r) + C.

Exercícios relacionados