Calcule a integral.
integral cos x cos 2 x cos 3 x d x

Passo 1

Na integral integral cos x cos 2x cos 3x , dx, o assunto é integração de produtos de funções trigonométricas. Vamos usar identidades de produto-para-soma e também a identidade cos^2 x = 1+cos2x2.

Passo 2

Aplicamos a identidade cos A cos B = 12[cos(A+B)+cos(A-B)] em cos x cos 2x:
cos x cos 2x = 12(cos3x+cos(-x)) = 12(cos3x+cos x)
Assim o integrando vira 12(cos3x+cos x)cos3x.

Passo 3

Multiplicamos e usamos as identidades:
  • cos^2 3x = 1+cos6x2
  • cos x cos3x = 12(cos4x+cos2x)
    Logo o integrando é
12(cos^2 3x + cos x cos3x) = 14l(1+cos6x+cos4x+cos2xr)

Passo 4

A integral se torna
14integrall(1+cos2x+cos4x+cos6xr),dx
Agora integramos termo a termo:
- integral1,dx = x
- integralcos2x,dx = tfrac12sin2x
- integralcos4x,dx = tfrac14sin4x
- integralcos6x,dx = tfrac16sin6x

Passo 5

Incluímos a constante C e simplificamos para chegar na forma final da primitiva.

Resposta

x4 + sin2x8 + sin4x16 + sin6x24 + C

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