integral0^2 x^3 raiz4-x^2 d x

Passo 1

Temos a integral integral0^2 x^3 raiz4 - x^2,dx. O conteúdo aqui é cálculo de integrais e vamos precisar usar substituição para simplificar o radical e o polinômio.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 4 - x^2, temos du = -2x,dx. Note que x^3,dx = x^2(x,dx) = (4 - u)l(-tfrac12dur) e raiz4 - x^2 = raizu.
Quando x = 0, u = 4; quando x = 2, u = 0. Assim a integral vira
integral0^2 x^3raiz4 - x^2,dx = integral4^0 l(4 - ur)l(-tfrac12r) u^1/2,du

Passo 3

Invertemos os limites para ficar de 0 a 4 e eliminamos o sinal negativo:
= tfrac12 integral0^4 l(4 - ur)u^1/2,du = tfrac12 integral0^4 l(4u^1/2 - u^3/2r),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 4u^1/2,du = tfrac83u^3/2, integral u^3/2,du = tfrac25u^5/2

Passo 5

Substituindo e avaliando de 0 a 4:
tfrac12l[tfrac83u^3/2 - tfrac25u^5/2r]0^4 = tfrac12l(tfrac83cdot8 - tfrac25cdot32r) = tfrac12l(tfrac643 - tfrac645r) = tfrac6415

Resposta

6415

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