Calcule a integral.
integral cos ^5 x sen^5 x d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral integral cos^5 x,sin^5 x,dx. O conteúdo aqui é integração de potências ímpares de seno e cosseno, usando a identidade sin^2x+cos^2x=1 e substituição trigonométrica.

Passo 2

Como a potência de cosseno é ímpar, separamos um fator cos x,dx para fazer a substituição. Escrevemos cos^5x=cos^4xcdotcos x=(1-sin^2x)^2cos x. Escolhemos u=sin x, pois du=cos x,dx.

Passo 3

Transformando a integral em u:
integralcos^5xsin^5x,dx=integralsin^5x,(1-sin^2x)^2,cos x,dx =integral u^5(1-u^2)^2,du
Expandindo a parte polinomial:
u^5(1-u^2)^2=u^5(1-2u^2+u^4)=u^5-2u^7+u^9
Agora integramos termo a termo:
integral(u^5-2u^7+u^9),du=u^66-2cdotu^88+u^1010=u^66-u^84+u^1010+C

Passo 4

Voltando à variável original x, temos u=sin x. Assim, a resposta final é obtida substituindo: sin^6x6-sin^8x4+sin^10x10+C

Resposta

sin^6x6-sin^8x4+sin^10x10+C

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