Calcule a integral.
integral(1-sen 2 x)^2 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral (1 - sin 2x)^2 ,dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas e a gente vai precisar expandir o quadrado e usar identidade para sin^2.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado:
(1 - sin 2x)^2 = 1 - 2sin 2x + (sin 2x)^2

Passo 3

Agora usamos a identidade de potência reduzida para sin^2 2x:
$$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}
$$

Passo 4

Substituindo na expressão expandida, o integrando vira:
1 - 2sin 2x + 1 - cos 4x2 = 32 - 2sin 2x - 12cos 4x

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
  • integral 32 ,dx = 32x + C1
  • $\displaystyle \int (-2\sin 2x) ,dx = -2 \cdot \Bigl(-\tfrac{1}{2}\cos 2x\Bigr) = \cos 2x $
  • integral (-2sin 2x) ,dx = -2 cdot l(-tfrac12cos 2xr) = cos 2x

Passo 6

Somando tudo e reunindo a constante em um único C, temos a primitiva completa.

Resposta

3x2 + cos 2x - sin 4x8 + C

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