Calcule
integral cos 2 x cos x d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de cos 2x cos x em relação a x. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente, técnicas de integração utilizando identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a identidade de multiplicação de cossenos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos o produto de dois cossenos, podemos usar a seguinte identidade trigonométrica:
cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Isso ajuda a transformar o produto em uma soma, o que facilita a integração.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso integral, onde A = 2x e B = x, temos:
cos 2x cos x = 12 [cos(2x + x) + cos(2x - x)] = 12 [cos 3x + cos x]
Então, a integral fica:
integral cos 2x cos x , dx = 12 integral (cos 3x + cos x) , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo. Sabemos que a integral de cos kx em relação a x é 1k sin kx. Aplicando isso:
12 integral cos 3x , dx = 12 cdot 13 sin 3x = 16 sin 3x
E
12 integral cos x , dx = 12 sin x

Passo 5

Juntando os dois resultados, temos:
16 sin 3x + 12 sin x + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de cos 2x cos x , dx é:
16 sin 3x + 12 sin x + C

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