Considere o problema de valor inicial
y^prime(x)+23 y(x)=1-12 x, com y(0)=y0
Encontre o valor de y0 de modo que a solução toca, mas não cruza o eixo x.

Passo 1

O problema dado é uma EDO linear de 1ª ordem: temos y'(x)+23y(x)=1-tfrac12 x com condição inicial y(0)=y0. Vamos usar fator integrante para achar a solução geral e depois impor a tangência ao eixo x.

Passo 2

O fator integrante é mu(x)=e^integral23dx=e^tfrac23x. Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos a forma exata
l(e^tfrac23xyr)'=e^tfrac23xl(1-tfrac12 xr)

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x. Usando integrais de e^ax e x e^ax com a=2/3, chega-se a
e^tfrac23xy=e^tfrac23xl(tfrac218-tfrac34xr)+C
logo a solução geral é
y(x)=218-34x+C e^-tfrac23x

Passo 4

Aplicando y(0)=y0 temos
y(0)=218+C=y0Longrightarrow C=y0-218,
então
y(x)=218-34x+l(y0-218r)e^-tfrac23x

Passo 5

Para que a solução toque mas não cruze o eixo x, deve existir x^* tal que
y(x^*)=0 e y'(x^*)=0

Passo 6

Calculamos
y'(x)=-34-23l(y0-218r)e^-tfrac23x
Da condição y'(x^*)=0 vem
l(y0-218r)e^-tfrac23x^*=-98
Da condição y(x^*)=0 temos
218-34x^*-98=0 Longrightarrow x^*=2

Passo 7

Substituindo x^*=2 na relação para y0, obtemos
y0-218=-98e^tfrac43 Longrightarrow y0=218-98e^tfrac43

Passo 8

Portanto, o valor de y0 que faz a solução tocar (com tangência) mas não cruzar o eixo x é dado acima.

Resposta

y0=21-9e^4/38.

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