Considere o problema de valor inicial
y^prime(x)+12 y(x) & =2 cos (x) y(0) & =-2
Estude os pontos críticos da solução deste problema.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI linear de primeira ordem y'(x)+tfrac12y(x)=2cos x, y(0)=-2, e depois estudar os pontos críticos ( y'(x)=0) da solução. Vamos usar teoria de EDOs lineares e análise de extremos via derivada.

Passo 2

Para resolver a EDO usamos fator integrante. A equação é do tipo y'+P(x)y=Q(x) com P(x)=tfrac12. O fator integrante é mu(x)=e^integral P(x),dx=e^x/2. Multiplicando tudo por e^x/2 obtemos:
e^x/2y'(x)+tfrac12e^x/2y(x)=2e^x/2cos xLongrightarrowddxl(e^x/2y(x)r)=2e^x/2cos x

Passo 3

Integramos em x:
e^x/2y(x)=integral 2e^x/2cos x,dx + C

Passo 4

Para encontrar a integral, usamos método de coeficientes indeterminados. O termo particular assume yp=Acos x+Bsin x. Substituindo em y'+tfrac12y=2cos x obtemos o sistema
-A+tfrac12B=0,B+tfrac12A=2,
cuja solução é A=tfrac45, B=tfrac85. Assim
y(x)=Ce^-x/2+45cos x+85sin x

Passo 5

Impondo y(0)=-2 C+tfrac45=-2, logo C=-tfrac145. A solução final é
y(x)=-145e^-x/2+45cos x+85sin x

Passo 6

Derivamos para achar os pontos críticos:
yখ্যানx)=-145l(-tfrac12 e^-x/2r)-45sin x+85cos x=75e^-x/2-45sin x+85cos x

Passo 7

O critério y'(x)=0 leva a
7e^-x/2-4sin x+8cos x=0

Passo 8

Reescrevemos -4sin x+8cos x como Rsin(x+varphi) com R=4raiz5 e varphi=pi-arctan2. Então a condição fica
sin(x+varphi)=-74raiz5,e^-x/2

Passo 9

Dessa equação concluímos que pontos críticos existem somente se
l|74raiz5e^-x/2r|<=1,Long<=ftrightarrow,x>= -2ln4raiz57approx-0,49

Passo 10

Para x>= -0,49 há duas soluções por período de 2pi, alternando máximos e mínimos.

Resposta

Os pontos críticos da solução são as raízes da equação implícita
sinl(x+varphir)=-74raiz5,e^-x/2,
onde
varphi=pi-arctan2,
existindo somente para
x>=-2ln4raiz57approx-0,49
e, nesse intervalo, aparecem duas soluções por período de 2pi, alternando máximos e mínimos.

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