Estude os pontos críticos da solução deste problema.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI linear de primeira ordem y'(x)+tfrac12y(x)=2cos x, y(0)=-2, e depois estudar os pontos críticos (y'(x)=0) da solução. Vamos usar teoria de EDOs lineares e análise de extremos via derivada.
Passo 2
Para resolver a EDO usamos fator integrante. A equação é do tipo y'+P(x)y=Q(x) com P(x)=tfrac12. O fator integrante é mu(x)=e^integral P(x),dx=e^x/2. Multiplicando tudo por e^x/2 obtemos:
e^x/2y'(x)+tfrac12e^x/2y(x)=2e^x/2cos xLongrightarrowddxl(e^x/2y(x)r)=2e^x/2cos x
Passo 3
Integramos em x:
e^x/2y(x)=integral 2e^x/2cos x,dx + C
Passo 4
Para encontrar a integral, usamos método de coeficientes indeterminados. O termo particular assume yp=Acos x+Bsin x. Substituindo em y'+tfrac12y=2cos x obtemos o sistema
-A+tfrac12B=0,B+tfrac12A=2,
cuja solução é A=tfrac45, B=tfrac85. Assim y(x)=Ce^-x/2+45cos x+85sin x
Passo 5
Impondo y(0)=-2 dá C+tfrac45=-2, logo C=-tfrac145. A solução final é