Calcule
integral x+3x^2-x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse problema está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de frações parciais, que é usada para integrar funções racionais, ou seja, quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - x = x(x - 1) . Podemos colocar integral x+3x(x - 1) , dx em evidência:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração x+3x(x - 1) = Ax + Bx - 1 em frações parciais. Queremos encontrar constantes x + 3 = A(x - 1) + Bx e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos encontrar os valores de 0 + 3 = A(0 - 1) + B cdot 0 Rightarrow 3 = -A Rightarrow A = -3 e 1 + 3 = A(1 - 1) + B cdot 1 Rightarrow 4 = B Rightarrow B = 4 . Para isso, podemos escolher valores específicos de que simplificam a equação.
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com os valores encontrados, a decomposição fica:
x+3x(x - 1) = -3x + 4x - 1
Agora, podemos reescrever a integral usando essas frações:
integral ( -3x + 4x - 1 ) , dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -3x , dx + integral 4x - 1 , dx
Sabemos que:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Portanto:
-3 ln|x| + 4 ln|x - 1| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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