Calcule:
integral cos (x)3-cos (x3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de cos(x)3 - cos(x3) em relação a x. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos quebrar a integral em partes menores e resolver cada uma passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
integral cos(x)3 , dx - integral cos(x3) , dx
Isso facilita o processo, permitindo que a gente resolva cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral:
integral cos(x)3 , dx
Aqui, podemos tirar o fator constante 13 para fora da integral:
13 integral cos(x) , dx
Sabemos que a integral de cos(x) é sin(x), então:
13 sin(x) + C1
Onde C1 é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral cos(x3) , dx
Para resolver isso, usamos uma substituição simples. Vamos definir u = x3. Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 13 Rightarrow dx = 3, du
Substituindo na integral:
integral cos(u) cdot 3, du = 3 integral cos(u) , du
Sabemos que a integral de cos(u) é sin(u), então:
3 sin(u) + C2
Voltando para x:
3 sin(x3) + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Resposta

Juntando as duas partes resolvidas, a integral completa é:
13 sin(x) - 3 sin(x3) + C
Onde C é a constante de integração geral.

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