Calcule:
integral1^3 2 x^3-6 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral1^3 (2x^3 - 6x + 2) , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente encontrar a área sob a curva da função 2x^3 - 6x + 2 entre os pontos x = 1 e x = 3. Para isso, vamos precisar encontrar a antiderivada da função e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de cada termo da função. A regra básica é que a antiderivada de x^n é x^n+1n+1, e a constante multiplica direto. Então:
  • Para 2x^3:
    integral 2x^3 , dx = 2 cdot x^44 = 24x^4 = 12x^4
  • Para -6x:
    integral -6x , dx = -6 cdot x^22 = -3x^2
  • Para +2:
    integral 2 , dx = 2x
Então, a antiderivada completa F(x) é:
F(x) = 12x^4 - 3x^2 + 2x

Passo 3

Agora, vamos avaliar a antiderivada no limite superior da integral, que é x = 3:
F(3) = 12(3)^4 - 3(3)^2 + 2(3)
Calculando cada parte:
12(81) - 3(9) + 6 = 812 - 27 + 6 = 40,5 - 27 + 6 = 19,5

Passo 4

Em seguida, avaliamos a antiderivada no limite inferior da integral, que é x = 1:
F(1) = 12(1)^4 - 3(1)^2 + 2(1)
Calculando cada parte:
12(1) - 3(1) + 2 = 0,5 - 3 + 2 = -0,5

Passo 5

Para encontrar o valor da integral definida, subtraímos o valor de F(1) de F(3):
F(3) - F(1) = 19,5 - (-0,5) = 19,5 + 0,5 = 20

Resposta

O valor da integral é 20.

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