Calcule a integral.
integral cos x ln (sen x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos x,ln(sin x),dx. O conteúdo principal é integração por partes, e vamos precisar da fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos
du e
v.
Dessa forma, precisamos computar e .

Passo 3

Derivando u e integrando dv, temos

.

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral cos x,ln(sin x),dx = underbraceln(sin x),sin xu,v - integral sin x,(cot x),dx .

Passo 5

Observando que sin xcot x = sin x,(cos x/sin x) = cos x, a integral restante é
integral cos x,dx = sin x .

Passo 6

Portanto, juntando tudo, obtemos
integral cos x,ln(sin x),dx = sin x,ln(sin x) - sin x + C , onde C é a constante de integração.

Resposta

sin x,ln(sin x) - sin x + C

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