Considere a função f(x, y, z)=x^3 cdot cos (y)+7 x^2-z^2
Tendo como base o ponto (1,0,2), encontre:
a) A direção e sentido do vetor, para que haja taxa máxima de crescimento da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a direção e o sentido do vetor que indica a taxa máxima de crescimento da função $ f(x, y, z) = x^{3} \cdot \cos(y) + 7x^{2} - z^{2} $ no ponto f(x, y, z) = x^3 cdot cos(y) + 7x^2 - z^2 . Isso envolve usar o conceito de gradiente da função, que é uma ferramenta da cálculo multivariável. O gradiente nos dá exatamente a direção em que a função cresce mais rápido.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função $ f(x, y, z) $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
f(x, y, z)
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
nabla f(x, y, z) = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
x
  1. Derivada parcial em relação a $ z $:
partial fpartial x = 3x^2 cdot cos(y) + 14x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 0, 2):
  1. Para partial fpartial x:
3(1)^2 cdot cos(0) + 14(1) = 3 cdot 1 + 14 = 17
  1. Para partial fpartial y:
-1^3 cdot sin(0) = -1 cdot 0 = 0
  1. Para partial fpartial z:
-2(2) = -4

Passo 4

Com isso, o gradiente no ponto (1, 0, 2) é:
nabla f(1, 0, 2) = (17, 0, -4)
Esse vetor aponta na direção da taxa máxima de crescimento da função naquele ponto.

Resposta

A direção e o sentido do vetor para a taxa máxima de crescimento da função no ponto (1, 0, 2) são dados pelo vetor gradiente nabla f(1, 0, 2) = (17, 0, -4).

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