Considere a função
Tendo como base o ponto
, encontre:
a) A direção e sentido do vetor, para que haja taxa máxima de crescimento da função.
Tendo como base o ponto
a) A direção e sentido do vetor, para que haja taxa máxima de crescimento da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a direção e o sentido do vetor que indica a taxa máxima de crescimento da função $ f(x, y, z) = x^{3} \cdot \cos(y) + 7x^{2} - z^{2} $ no ponto
. Isso envolve usar o conceito de gradiente da função, que é uma ferramenta da cálculo multivariável. O gradiente nos dá exatamente a direção em que a função cresce mais rápido.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função $ f(x, y, z) $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Com isso, o gradiente no ponto
é:
Esse vetor aponta na direção da taxa máxima de crescimento da função naquele ponto.
Resposta
A direção e o sentido do vetor para a taxa máxima de crescimento da função no ponto
são dados pelo vetor gradiente
.