Considere a função f(x, y, z)=x^3 cdot cos (y)+7 x^2-z^2
Tendo como base o ponto (1,0,2), encontre:
c) A taxa máxima de crescimento da função f, nesse ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y, z) = x^{3} \cdot \cos(y) + 7x^{2} - z^{2} $ e precisa descobrir qual é a taxa máxima de crescimento dessa função no ponto $ (1, 0, 2) $. Isso envolve entender como a função muda em diferentes direções nesse ponto, usando o conceito de gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a taxa máxima de crescimento, precisamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente, e sua magnitude (ou tamanho) nos dá a taxa máxima de crescimento.
Para calcular o gradiente, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
x
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
partial fpartial x = 3x^2 cdot cos(y) + 14x
  1. Derivada parcial em relação a $ z $:
y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (1, 0, 2) $:
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
(1, 0, 2)
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial x
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
3(1)^2 cdot cos(0) + 14(1) = 3 cdot 1 cdot 1 + 14 = 17
Então, o gradiente de $ f $ no ponto $ (1, 0, 2) $ é:
partial fpartial y

Passo 5

Para encontrar a taxa máxima de crescimento, calculamos a magnitude do gradiente:
| nabla f | = raiz17^2 + 0^2 + (-4)^2 = raiz289 + 0 + 16 = raiz305

Resposta

A taxa máxima de crescimento da função $ f $ no ponto $ (1, 0, 2) $ é $ \sqrt{305} $.

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