Considere a função
Tendo como base o ponto
, encontre:
c) A taxa máxima de crescimento da função
, nesse ponto
Tendo como base o ponto
c) A taxa máxima de crescimento da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y, z) = x^{3} \cdot \cos(y) + 7x^{2} - z^{2} $ e precisa descobrir qual é a taxa máxima de crescimento dessa função no ponto $ (1, 0, 2) $. Isso envolve entender como a função muda em diferentes direções nesse ponto, usando o conceito de gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a taxa máxima de crescimento, precisamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente, e sua magnitude (ou tamanho) nos dá a taxa máxima de crescimento.
Para calcular o gradiente, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (1, 0, 2) $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
Então, o gradiente de $ f $ no ponto $ (1, 0, 2) $ é:
Passo 5
Para encontrar a taxa máxima de crescimento, calculamos a magnitude do gradiente:
Resposta
A taxa máxima de crescimento da função $ f $ no ponto $ (1, 0, 2) $ é $ \sqrt{305} $.