Calcule a integral.
integral cos x ln (sen x) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos x,ln(sin x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto entre ln(sin x) e cos x.

Passo 2

Vamos escolher as funções para a integração por partes: u = ln(sin x) e dv = cos x,dx. Assim, calculamos:
  • du = ddx[ln(sin x)],dx = cos xsin x,dx = cot x,dx.
  • v = integral cos x,dx = sin x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du, obtemos:
integral cos x,ln(sin x),dx = sin x,ln(sin x) - integral sin x,cot x,dx

Passo 4

Como cot x = cos xsin x, temos sin x,cot x = cos x. Logo:
integral cos x,ln(sin x),dx = sin x,ln(sin x) - integral cos x,dx

Passo 5

E a integral de cos x é sin x. Então:
integral cos x,ln(sin x),dx = sin x,ln(sin x) - sin x + C

Resposta

sin x,(ln(sin x)-1)+C

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