Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
( ) Uma sequência monótona é convergente;
( ) Uma sequência monótona é convergente;
Passo 1
O enunciado pede para avaliarmos se “uma sequência monótona é convergente” é sempre verdade. O conteúdo aqui envolve definição de sequência monótona e conceito de convergência, além do teorema da convergência monótona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma sequência $ (a_n) $ é chamada de monótona crescente se $ a_{n+1}\ge a_n $ para todo $ n $, e monótona decrescente se $ a_{n+1}\le a_n $ para todo $ n $. Convergência significa que existe um número $ L $ tal que $ \lim_{n\to\infty}a_n = L $.
Passo 3
Há um resultado clássico (Teorema da Convergência Monótona) que diz: “toda sequência que é monótona e limitada converge”. Ou seja, monotonia mais restrição de ser limitada implicam convergência.
Passo 4
No enunciado dado não há menção de que a sequência seja limitada. Então basta apresentar um contraexemplo de sequência monótona não limitada que diverge. Por exemplo, considere $ a_n = n $. Essa sequência é monótona crescente (pois $ a_{n+1}-a_n=1>0 $), mas $ \lim_{n\to\infty}n=+\infty $, ou seja, não converge.
Passo 5
Como encontramos uma sequência monótona que não converge, a afirmação geral “toda sequência monótona é convergente” é falsa.
Resposta
Falsa.