Calcule a Integral
integral cos (x)+sen(x)sen(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral integral cos(x) + sin(x)sin(2x) dx. Isso está relacionado com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Então, podemos reescrever a integral assim:
integral cos(x) + sin(x)2 sin(x) cos(x) dx

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador separado:
cos(x) + sin(x)2 sin(x) cos(x) = 12 ( cos(x)sin(x) cos(x) + sin(x)sin(x) cos(x) )
Isso simplifica para:
12 ( 1sin(x) + 1cos(x) )

Passo 4

Reconhecendo que 1sin(x) é csc(x) e 1cos(x) é sec(x), a integral fica:
12 integral ( csc(x) + sec(x) ) dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral csc(x) dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C
integral sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
Portanto, substituindo na nossa expressão:
12 ( -ln|csc(x) + cot(x)| + ln|sec(x) + tan(x)| ) + C

Resposta

A integral é igual a:
12 ( ln|sec(x) + tan(x)| - ln|csc(x) + cot(x)| ) + C

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