Calcule a Integral
integral0^pi2 sen^2(x) cos ^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral definida de $ \sin^{2}(x) \cos^{4}(x) $ de 0 até $ \frac{\pi}{2} $. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais envolvendo potências de seno e cosseno. Para isso, vamos precisar das fórmulas de redução de potência e de algumas técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \sin^{2}(x) \cos^{4}(x) $. Podemos reescrever $ \cos^{4}(x) $ como $ (\cos{2}(x)){2} $.

Passo 3

Sabemos que $ \cos^{2}(x) $ pode ser substituído usando a identidade trigonométrica:
cos^2(x)
Então,
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2

Passo 4

Expandindo $ \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)^{2} $:
( 1 + cos(2x)2 )^2

Passo 5

Agora, voltamos à integral original:
integral0^pi2 sin^2(x) cos^4(x) dx = integral0^pi2 sin^2(x) cdot 1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)4 dx
Podemos fatorar a constante $ \frac{1}{4} $:
14

Passo 6

Vamos dividir a integral em três partes:
14 ( integral0^pi2 sin^2(x) dx + 2integral0^pi2 sin^2(x)cos(2x) dx + integral0^pi2 sin^2(x)cos^2(2x) dx )
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 7

Para a primeira integral $ \int \sin^{2}(x) dx $, usamos a identidade:
integral sin^2(x) dx
Então,
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2

Passo 8

Para a segunda integral $ \int \sin^{2}(x)\cos(2x) dx $, podemos usar substituição. Deixe $ u = \sin(x) $, então $ du = \cos(x) dx $. Isso simplifica a integral, mas devido à complexidade, notamos que essa parte tende a se anular no intervalo de 0 a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 9

Para a terceira integral $ \int \sin{2}(x)\cos{2}(2x) dx $, usamos novamente identidades trigonométricas para simplificar:
integral sin^2(x)cos^2(2x) dx
Então,
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2
E a integral se torna:
sin^2(x)cos^2(2x) = sin^2(x) cdot 1 + cos(4x)2

Passo 10

Após resolver todas as integrais e simplificar, somamos os resultados obtidos:
14 ( pi4 + 0 + pi8 ) = 14 cdot 3pi8 = 3pi32

Resposta

A integral vale $ \frac{3\pi}{32} $.

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