Calcule a integral.
integral cos ^3 xraizsen x d x

Passo 1

Neste exercício, a gente quer calcular integral cos^3 xraizsin x,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, e vamos precisar usar u = sin x.

Passo 2

Ao definir u = sin x, temos du = cos x,dx. Observe que cos^3 x,dx = cos^2 xcdotcos x,dx e, usando cos^2 x = 1 - sin^2 x = 1 - u^2, isso vira (1 - u^2),du.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica
1 - u^2raizu = u^-tfrac12 - u^tfrac32,
e a integral passa a ser
integrall(u^-tfrac12 - u^tfrac32r)du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral u^-tfrac12du = 2u^tfrac12,
integral u^tfrac32du = 25u^tfrac52

Passo 5

Logo, uma primitiva em u é
2u^tfrac12 - 25u^tfrac52 + C

Passo 6

Por fim, voltamos a x substituindo u = sin x, obtendo
2raizsin x - 25sin^5/2x + C

Resposta

2\sqrt{\sin x} - \frac{2}{5}\sin^{5/2}x + C

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