Calcule a integral.
integral0^pi / 2 sen^2 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de sen²(3x) de 0 a π/2. Esse é um problema de integração de função trigonométrica quadrática e vamos precisar usar a identidade de ângulo duplo para sen².

Passo 2

Para simplificar, aplicamos a identidade sin^2 theta = tfrac1 - cos(2theta)2. No nosso caso, theta = 3x, então temos:
sin^2(3x) = 1 - cos(6x)2

Passo 3

Substituímos na integral e separamos em duas partes:
integral0^pi/2 sin^2(3x) ,dx = integral0^pi/2 1 - cos(6x)2 ,dx = 12 integral0^pi/2 1 ,dx - 12 integral0^pi/2 cos(6x) ,dx

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente. Para o primeiro termo:
12 integral0^pi/2 1 ,dx = 12 l[xr]0^pi/2 = 12 cdot pi2 = pi4
Para o segundo termo, usamos que integral cos(6x) ,dx = tfrac16 sin(6x):
12 integral0^pi/2 cos(6x) ,dx = 12 cdot 16 l[sin(6x)r]0^pi/2 = 112l(sin(3pi) - sin(0)r) = 0

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
pi4 - 0 = pi4

Resposta

pi4

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