Verifique a unicidade ou não da solução do seguintes PVI
ld yd x=y^4-x^4 y(0)=7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a solução do seguinte problema de valor inicial (PVI) é única:
dydx = y^4 - x^4 y(0) = 7
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias e queremos saber se, dado esse ponto inicial, apenas uma solução satisfaz essa condição. Para isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade, conhecido também como Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos ajuda a determinar se a solução é única com base em certas condições sobre a função que define a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função $ f(x, y) $ da nossa equação diferencial:
f(x, y)
O Teorema de Picard-Lindelöf nos diz que, se $ f $ e sua derivada parcial em relação a $ y $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $, forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial f(x, y) = y^4 - x^4 , então existe uma solução única que passa por esse ponto.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de $ f(x, y) $ e de $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
f(x, y)
Ambas as expressões $ y^{4} - x^{4} $ e $ 4y^{3} $ são funções polinomiais, que são contínuas em todo o plano $ \mathbb{R}^2 $. Portanto, não há pontos de descontinuidade para essas funções.

Passo 4

Como $ f(x, y) $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ são contínuas em todo o domínio real, especialmente na vizinhança do ponto inicial f(x, y) , o Teorema de Picard-Lindelöf garante que existe uma única solução para o PVI dado.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é única.

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