Verifique a unicidade ou não da solução do seguintes PVI
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a solução do seguinte problema de valor inicial (PVI) é única:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias e queremos saber se, dado esse ponto inicial, apenas uma solução satisfaz essa condição. Para isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade, conhecido também como Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos ajuda a determinar se a solução é única com base em certas condições sobre a função que define a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função $ f(x, y) $ da nossa equação diferencial:
O Teorema de Picard-Lindelöf nos diz que, se $ f $ e sua derivada parcial em relação a $ y $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $, forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial
, então existe uma solução única que passa por esse ponto.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de $ f(x, y) $ e de $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Ambas as expressões $ y^{4} - x^{4} $ e $ 4y^{3} $ são funções polinomiais, que são contínuas em todo o plano $ \mathbb{R}^2 $. Portanto, não há pontos de descontinuidade para essas funções.
Passo 4
Como $ f(x, y) $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ são contínuas em todo o domínio real, especialmente na vizinhança do ponto inicial
, o Teorema de Picard-Lindelöf garante que existe uma única solução para o PVI dado.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é única.