Calcule a integral.
integral0^pi / 4 sec ^6 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a pi/4 de sec^6 x. O conteúdo envolve integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar identidades do sec e a substituição u=tan x.

Passo 2

Reescrever o integrando usando sec^6 x = sec^4 x cdot sec^2 x e a identidade sec^2 x = 1 + tan^2 x. Assim,
sec^4 x = (sec^2 x)^2 = (1 + tan^2 x)^2 = 1 + 2tan^2 x + tan^4 x

Passo 3

Aplicar a substituição u=tan x, com du = sec^2 x,dx. Os limites mudam: quando x=0, u=0; quando x=pi/4, u=1. A integral vira
integral0^pi/4 sec^6 x,dx = integral0^1 (1 + 2u^2 + u^4),du

Passo 4

Calcular a primitiva do polinômio termo a termo. A antiderivada é u + tfrac2u^33 + tfracu^55.

Passo 5

Avaliar nos limites: para u=1 temos 1 + tfrac23 + tfrac15 e para u=0 dá 0. Somando as frações,
1 + tfrac23 + tfrac15 = tfrac15 + 10 + 315 = tfrac2815

Resposta

2815

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