Calcule a integral.
integral cos ^5 xraizsin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos^5 xraizsin x,dx. O conteúdo aqui é mudança de variável em integrais trigonométricas, usando redução de potências para transformar tudo em função de sin x.

Passo 2

Observamos que cos^5 x = cos^4 xcdotcos x e que cos^4 x=(1-sin^2 x)^2. Como d(sin x)=cos x,dx, fazemos a substituição u=sin x, du=cos x,dx.

Passo 3

Em termos de u, a integral fica:
integral (1-u^2)^2raizu,du

Passo 4

Expandindo o quadrado e dividindo por u^1/2, obtemos:
(1-u^2)^2u^1/2 = 1-2u^2+u^4u^1/2 = u^-1/2 - 2u^3/2 + u^7/2

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral u^-1/2,du = 2u^1/2,
integral (-2u^3/2),du = -2cdot25u^5/2 = -45u^5/2,
integral u^7/2,du = 29u^9/2

Passo 6

Somando as primitivas e voltando para x com u=sin x, chegamos a:
2raizsin x ;- 45sin^5/2x ;+ 29sin^9/2x + C

Resposta

2raizsin x - tfrac45sin^5/2x + tfrac29sin^9/2x + C

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