Calcule a integral.
integral x sin 8 x cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x sin(8x)cos(5x),dx. Para isso, vamos usar transformações trigonométricas (produto para soma) e integração por partes.

Passo 2

Usamos a identidade sin A cos B = tfrac12[sin(A+B) + sin(A-B)] com A=8x e B=5x, logo sin(8x)cos(5x) = tfrac12[sin(13x) + sin(3x)].

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos integral x sin(8x)cos(5x),dx = tfrac12integral x sin(13x),dx + tfrac12integral x sin(3x),dx.

Passo 4

Para calcular integral x sin(ax),dx, aplicamos integração por partes. Escolhendo u = x e dv = sin(ax),dx, temos du = dx e v = -tfrac1acos(ax). Assim, integral x sin(ax),dx = -tfracxacos(ax) + tfrac1a^2sin(ax).

Passo 5

Aplicamos o resultado anterior nas duas integrais com a=13 e a=3, lembrando do fator tfrac12 e adicionando a constante de integração C.
Por fim, multiplicamos por tfrac12 e simplificamos os denominadores usando 13^2=169 e 3^2=9, encerrando a resolução.

Resposta

-x26cos(13x) - x6cos(3x) + sin(13x)338 + sin(3x)18 + C

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