Calcule a integral.
integral x tan x sec x d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida integral xtan xsec x,dx. O conteúdo aqui é integração por partes, juntamente com o fato de conhecermos a derivada de sec x e a primitiva de sec x.

Passo 2

Observamos que dfracddx(sec x)=sec xtan x. Logo podemos reescrever a integral como integral x,d(sec x), o que indica usar integração por partes.

Passo 3

Escolhemos u=x e dv=sec xtan x,dx. Então du=dx e
v=integralsec xtan x,dx=sec x
Pela fórmula de integração por partes integral u,dv=u,v-integral v,du, temos
integral xsec xtan x,dx=xsec x-integralsec x,dx

Passo 4

Falta calcular integralsec x,dx. Sabemos que
integralsec x,dx=lnlvertsec x+tan xrvert+C
Substituindo, a integral original fica
xsec x-lnlvertsec x+tan xrvert+C

Resposta

xsec x-lnlvertsec x+tan xrvert+C

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