Mostre que as funções abaixo são homogêneas
g(x, y)=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função g(x,y)=x^2+y^2 é homogênea e identificar o grau de homogeneidade. Vamos usar a definição de função homogênea: uma função f(x,y) é homogênea de grau k se satisfaz f(tx,ty)=t^k f(x,y) para todo t.

Passo 2

Aplicamos a definição calculando g(tx,ty):
g(tx,ty)=(t x)^2+(t y)^2=t^2x^2+t^2y^2=t^2(x^2+y^2)=t^2g(x,y)

Passo 3

Observando que g(tx,ty)=t^2g(x,y), concluímos que g é homogênea de grau 2.

Resposta

A função g(x,y)=x^2+y^2 é homogênea de grau 2.

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