Calcule a integral.
integral cos x+sen xsen 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral cos x + sin xsin 2x ,dx O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades, e vamos precisar da identidade sin 2x = 2sin xcos x para simplificar o integrando.

Passo 2

Usando a identidade sin 2x = 2sin xcos x, reescrevemos o integrando:
cos x + sin xsin 2x = cos x + sin x2sin xcos x = 12l(cos xsin xcos x + sin xsin xcos xr) = 12l(csc x + sec xr)
Então a integral vira integral cos x + sin xsin 2x ,dx = 12integral (csc x + sec x),dx.

Passo 3

Agora lembramos as primitivas básicas:
– Para csc x: integral csc x,dx = lnl|tan(x/2)r| + C1.
– Para sec x: integral sec x,dx = lnl|sec x + tan xr| + C2.
Substituindo,
12integral (csc x + sec x),dx = 12l[ln|tan(x/2)| + ln|sec x + tan x|r] + C

Passo 4

Podemos combinar os logaritmos se quisermos uma única expressão, mas não é obrigatório. Ficamos com
12lnl|tan(x/2)r| + 12lnl|sec x + tan xr| + C

Resposta

12lnl|tan(tfracx2)r| + 12lnl|sec x + tan xr| + C

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