Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
z=x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função de duas variáveis z=x^2-y^2x^2+y^2 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limites em R^2 e a gente vai precisar usar o critério de análise por caminhos para verificar se o limite é independente da direção de chegada.

Passo 2

Em limites de funções de duas variáveis, para o limite existir ele tem que ser o mesmo se eu chegar por qualquer trajetória. Uma forma sistemática é aproximar por retas do tipo y=mx, com m arbitrário, e ver se o resultado depende de m.
Substituindo y=mx na função temos:
x^2-(mx)^2x^2+(mx)^2=x^2(1-m^2)x^2(1+m^2)=1-m^21+m^2
Repare que o valor 1-m^21+m^2 varia com m. Por exemplo, se m=0 o limite vale 1, e se m=1 vale 0. Como não há um único valor, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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