Calcule a integral.
integral cossec^4 x cotg^6 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral csc^4 x cot^6 x , dx. Esse problema envolve integrais de potências de funções trigonométricas. Vamos usar substituição e identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

Observamos que csc^4 x = csc^2 x cdot csc^2 x, então podemos escrever
integral csc^4 x cot^6 x , dx = integral csc^2 x cot^6 x cdot csc^2 x , dx

Passo 3

Fazemos a substituição u = cot x. Como du = -csc^2 x , dx, temos csc^2 x,dx = -,du. Assim
integral csc^2 x cot^6 x cdot csc^2 x , dx = -integral u^6 ,csc^2 x , du

Passo 4

Usando a identidade csc^2 x = 1 + cot^2 x = 1 + u^2, substituímos:
-integral u^6 ,csc^2 x , du = -integral u^6 (1 + u^2) , du = -integral (u^6 + u^8) , du

Passo 5

Agora integramos o polinômio:
-integral (u^6 + u^8) , du = -gl(u^77 + u^99gr) + C

Passo 6

Voltando para a variável x com u = cot x, obtemos:
-gl(u^77 + u^99gr) + C = -gl(cot^7 x7 + cot^9 x9gr) + C

Resposta

-\frac{\cot^7 x}{7} - \frac{\cot^9 x}{9} + C

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