Calcule a integral.
integralpi / 6^pi / 2 cotg^3 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integralpi/6^pi/2 cot^3 x,dx. O conteúdo usado será integração de potências de cotangente e a identidade trigonométrica cot^2 x + 1 = csc^2 x.

Passo 2

Usando a identidade cot^2 x = csc^2 x - 1, reescrevemos
cot^3 x = cot x,cot^2 x = cot x,(csc^2 x - 1) = cot x,csc^2 x - cot x

Passo 3

Assim a integral se separa:
integralpi/6^pi/2 cot^3 x,dx = integralpi/6^pi/2 cot x,csc^2 x,dx - integralpi/6^pi/2 cot x,dx

Passo 4

Para a primeira parte, fazemos u = cot x, logo du = -csc^2 x,dx. Então
integral cot x,csc^2 x,dx = integral -u,du = -u^22 = -cot^2 x2

Passo 5

Para a segunda parte, sabemos que
integral cot x,dx = lnlvertsin xrvert

Passo 6

Logo uma primitiva comum é
F(x) = -cot^2 x2 - lnlvertsin xrvert

Passo 7

Avaliamo-la nos limites:
  • Em x = pi/2, cot(pi/2)=0 e sin(pi/2)=1, então F(pi/2)=0-ln1=0
  • Em x = pi/6, cot(pi/6)=raiz3 e sin(pi/6)=1/2, então
F(pi/6) = -(raiz3)^22 - lntfrac12 = -32 - (-ln2)= -tfrac32 + ln2

Passo 8

Subtraindo, obtemos
integralpi/6^pi/2 cot^3 x,dx = F(pi/2) - F(pi/6) = 0 -l(-tfrac32 + ln2r) = tfrac32 - ln2

Resposta

tfrac32 - ln2

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