Calcule:
integral csc ^6(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de csc^6(2t) , dt. Estamos lidando com integração de funções trigonométricas, especificamente usando identidades e técnicas de redução de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e métodos de integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que csc(theta) é igual a 1sin(theta). Então, csc^6(2t) = 1sin^6(2t). Mas trabalhar diretamente com essa forma pode ser complicado, então vamos usar uma identidade trigonométrica para facilitar.
Uma identidade útil é:
csc^2(theta) = 1 + cot^2(theta)
Podemos elevar ambos os lados ao cubo para obter csc^6(theta):
csc^6(theta) = (1 + cot^2(theta))^3
Isso expande para:
csc^6(theta) = 1 + 3cot^2(theta) + 3cot^4(theta) + cot^6(theta)
No entanto, essa abordagem ainda é complexa. Em vez disso, vamos usar uma estratégia de redução de potência mais simples.

Passo 3

Vamos usar a identidade:
csc^6(2t) = csc^4(2t) cdot csc^2(2t)
Sabemos que csc^2(2t) = 1 + cot^2(2t), então podemos reescrever a integral como:
integral csc^6(2t) , dt = integral csc^4(2t) (1 + cot^2(2t)) , dt
Agora, vamos distribuir csc^4(2t):
integral csc^4(2t) , dt + integral csc^4(2t) cot^2(2t) , dt

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Comecemos pela primeira:
integral csc^4(2t) , dt
Para integrar csc^4(2t), usamos a identidade csc^2(x) = 1 + cot^2(x) novamente:
csc^4(2t) = (csc^2(2t))^2 = (1 + cot^2(2t))^2 = 1 + 2cot^2(2t) + cot^4(2t)
Então, a integral se torna:
integral (1 + 2cot^2(2t) + cot^4(2t)) , dt

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
  1. integral 1 , dt = t + C
  2. integral 2cot^2(2t) , dt
Para resolver integral cot^2(2t) , dt, usamos a identidade cot^2(x) = csc^2(x) - 1:
integral cot^2(2t) , dt = integral (csc^2(2t) - 1) , dt = -12 cot(2t) - t + C
Então,
integral 2cot^2(2t) , dt = 2 ( -12 cot(2t) - t ) = -cot(2t) - 2t + C
  1. integral cot^4(2t) , dt
Usamos novamente a identidade cot^2(x) = csc^2(x) - 1:
cot^4(2t) = (cot^2(2t))^2 = (csc^2(2t) - 1)^2 = csc^4(2t) - 2csc^2(2t) + 1
Então,
integral cot^4(2t) , dt = integral (csc^4(2t) - 2csc^2(2t) + 1) , dt
Este processo se repete, indicando que precisamos de uma abordagem mais eficiente, como a substituição.

Passo 6

Vamos fazer a substituição para simplificar a integral original.
Considere u = cot(2t). Então, a derivada de u em relação a t é:
dudt = -2csc^2(2t)
Isso implica que:
csc^2(2t) , dt = -12 du
Agora, voltando à nossa integral original:
integral csc^6(2t) , dt = integral csc^4(2t) (1 + cot^2(2t)) , dt
Usando a substituição u = cot(2t):
integral (1 + u^2) csc^4(2t) , dt
Mas precisamos expressar csc^4(2t) em termos de u. Sabemos que:
csc^2(2t) = 1 + u^2
Então,
csc^4(2t) = (1 + u^2)^2 = 1 + 2u^2 + u^4
Substituindo tudo na integral:
integral (1 + u^2)(1 + 2u^2 + u^4) ( -12 du )

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Multiplicando (1 + u^2) por (1 + 2u^2 + u^4):
(1)(1) + (1)(2u^2) + (1)(u^4) + (u^2)(1) + (u^2)(2u^2) + (u^2)(u^4) = 1 + 3u^2 + 3u^4 + u^6
Então, a integral fica:
-12 integral (1 + 3u^2 + 3u^4 + u^6) , du

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
-12 ( integral 1 , du + 3integral u^2 , du + 3integral u^4 , du + integral u^6 , du )
Calculando cada integral:
  1. integral 1 , du = u
  2. 3integral u^2 , du = 3 cdot u^33 = u^3
  3. 3integral u^4 , du = 3 cdot u^55 = 3u^55
  4. integral u^6 , du = u^77
Então, juntando tudo:
-12 ( u + u^3 + 3u^55 + u^77 ) + C

Passo 9

Agora, substituímos u de volta para cot(2t):
-12 ( cot(2t) + cot^3(2t) + 3cot^5(2t)5 + cot^7(2t)7 ) + C

Resposta

Portanto, a integral de csc^6(2t) , dt é:
-12 ( cot(2t) + cot^3(2t) + 3cot^5(2t)5 + cot^7(2t)7 ) + C

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