Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de
. Estamos lidando com integração de funções trigonométricas, especificamente usando identidades e técnicas de redução de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e métodos de integração por substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é igual a
. Então,
. Mas trabalhar diretamente com essa forma pode ser complicado, então vamos usar uma identidade trigonométrica para facilitar.
Uma identidade útil é:
Podemos elevar ambos os lados ao cubo para obter
:
Isso expande para:
No entanto, essa abordagem ainda é complexa. Em vez disso, vamos usar uma estratégia de redução de potência mais simples.
Passo 3
Vamos usar a identidade:
Sabemos que
, então podemos reescrever a integral como:
Agora, vamos distribuir
:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Comecemos pela primeira:
Para integrar
, usamos a identidade
novamente:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Agora, integramos termo a termo:
Para resolver
, usamos a identidade
:
Então,
Usamos novamente a identidade
:
Então,
Este processo se repete, indicando que precisamos de uma abordagem mais eficiente, como a substituição.
Passo 6
Vamos fazer a substituição para simplificar a integral original.
Considere
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso implica que:
Agora, voltando à nossa integral original:
Usando a substituição
:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Então,
Substituindo tudo na integral:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Multiplicando
por
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Então, juntando tudo:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta para
:
Resposta
Portanto, a integral de
é: