Comprove que u(x, y, z)=e^3 x+4 y sin 5 z satisfaz a equação de Laplace em R^3 :
vartheta^2 uvartheta x^2+vartheta^2 uvartheta y^2+vartheta^2 uvartheta z^2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função u(x,y,z)=e^3x+4ysin5z é solução da equação de Laplace em R^3, ou seja, que a soma das segundas derivadas parciais satisfaz uxx+uyy+uzz=0. Vamos usar derivação de exponenciais e de funções trigonométricas.

Passo 2

Para calcular uxx, primeiro derivamos em x:
ux=partialpartial xl(e^3x+4ysin5zr)=3e^3x+4ysin5z
Derivando de novo em x:
uxx=partialpartial xl(3e^3x+4ysin5zr)=9e^3x+4ysin5z

Passo 3

Para uyy, derivamos em y:
uy=4e^3x+4ysin5z,
e em seguida:
uyy=16e^3x+4ysin5z

Passo 4

Para uzz, derivamos em z:
uz=e^3x+4ycdot5cos5z=5e^3x+4ycos5z,
e derivando mais uma vez:
uzz=5e^3x+4ycdot(-5)sin5z=-25e^3x+4ysin5z

Passo 5

Somando as três segundas derivadas:
uxx+nuyy+nuzz=(9+16-25)e^3x+4ysin5z=0cdot e^3x+4ysin5z=0
Como a soma é zero, concluímos que u satisfaz a equação de Laplace em R^3.

Resposta

Mostramos que uxx+uyy+uzz=0, logo u(x,y,z)=e^3x+4ysin5z satisfaz a equação de Laplace em R^3.

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