Calcule a integral integral 6 d x3 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral: integral 6 , dx3x + 1. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos precisar entender integração por substituição, que é uma técnica para simplificar a integral tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observe que o denominador é 3x + 1. Vamos fazer a seguinte substituição:
u = 3x + 1
Agora, precisamos encontrar a diferencial de u em relação a x:
dudx = 3 Rightarrow du = 3 , dx
Queremos expressar dx em termos de du:
dx = du3

Passo 3

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral 6 , dx3x + 1 = integral 6 cdot du3u = integral 2 , duu
Aqui simplificamos 6 div 3 = 2.

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 2 , duu = 2 integral duu
Sabemos que a integral de 1u em relação a u é ln|u|, então:
2 integral duu = 2 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u de volta para 3x + 1, a integral fica:
integral 6 , dx3x + 1 = 2 ln|3x + 1| + C

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