Use o método de substituição de variável para cacular:
integral(x^4+1)^19 80 x^3 d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral integral(x^4+1)^19 cdot 80 x^3 , dx. Esse exercício envolve o método de substituição de variável, que é uma técnica bem útil em cálculo para simplificar integrais complicadas. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por outra variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente. Observando a expressão (x^4 + 1)^19 e o termo 80x^3, percebemos que a derivada de x^4 + 1 em relação a x é 4x^3. Isso nos dá uma dica de como proceder. Vamos definir:
u = x^4 + 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 4x^3 du = 4x^3 , dx
Mas na nossa integral temos 80x^3 , dx. Vamos resolver isso:
80x^3 , dx = 20 cdot 4x^3 , dx = 20 , du

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, ficamos com:
integral(x^4+1)^19 cdot 80x^3 , dx = integral u^19 cdot 20 , du
Isso simplifica para:
20 integral u^19 , du
Agora, vamos integrar u^19 em relação a u:
20 cdot u^2020 = u^20 + C

Passo 5

Finalmente, substituímos u de volta para x:
u = x^4 + 1 Rightarrow u^20 = (x^4 + 1)^20

Resposta

A integral é igual a (x^4 + 1)^20 + C, onde C é a constante de integração.

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