Calcule a integral:
integral d xraiz1+x^2

Passo 1

Resumo do enunciado e identificação do conteúdo: a integração é\
integral dxraiz1+x^2
Esse tipo de integral é clássico e costuma ser resolvido usando a substituição hiperbólica, já que cosh^2t-sinh^2t=1. Vamos usar x=sinh t.

Passo 2

Substituição hiperbólica e cálculo de dx e da raiz: seja x=sinh t. Então
dx=cosh t,dt
e
raiz1+x^2=raiz1+sinh^2t=cosh t.
Substituindo na integral original:

Passo 3

Simplificação da integral e integração: após substituir temos
integral dxraiz1+x^2=integral cosh t,dtcosh t=integral dt=t + C

Passo 4

Retorno à variável original: como t=arcsinh(x), concluímos que
integral dxraiz1+x^2=arcsinh(x)+C

Resposta

arcsinh(x)+C

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