Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=1^+infty 5^k x^kk^2

Passo 1

Resumindo a questão: temos a série de potência sumk=1^infty5^k x^kk^2. O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência usando testes de séries de potência, em especial o teste da razão e o estudo dos extremos.

Passo 2

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão. Chamando ak=5^kk^2, temos
limktoinfty|ak+1x^k+1ak x^k| =limktoinfty5|x|k^2(k+1)^2 =5|x|
A série converge se esse limite for menor que 1, ou seja, 5|x|<1. Logo o raio de convergência é R=1/5.

Passo 3

Agora vamos testar os extremos x=pm1/5:
Para x=1/5 a série vira sumk=1^infty5^k(1/5)^kk^2=sumk=1^infty1k^2, que converge (série de p-série com p=2>1).
Para x=-1/5 temos sumk=1^infty5^k(-1/5)^kk^2=sumk=1^infty(-1)^kk^2, que também converge absolutamente. Portanto ambos os extremos são incluídos, e o intervalo de convergência é [-1/5,1/5].

Resposta

Raio de convergência R=tfrac15 e intervalo de convergência [-1/5,1/5].

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