Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=1^+infty(-1)^k-1 x^kraizk

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumk=1^infty(-1)^k-1x^kraizk. O conteúdo aqui é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois examinar os extremos.

Passo 2

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão. Chamando ak = (-1)^k-1tfracx^kraizk, temos
limktoinfty|ak+1ak| = limktoinfty|x^k+1raizk+1cdotraizkx^k| = |x|limktoinftyraiztfrackk+1 = |x|
O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que 1. Logo o raio de convergência é R=1. Isso nos dá converge para |x|<1.

Passo 3

Agora vamos testar os extremos. Primeiro x=1: a série vira sumk=1^infty(-1)^k-1/raizk, que é alternada, os termos 1/raizk decrescem e vão a zero, então converge (teste de Leibniz).

Passo 4

Em x=-1 a série torna-se
sumk=1^infty(-1)^k-1(-1)^kraizk = sumk=1^infty(-1)^2k-11raizk = -sumk=1^infty1raizk
Como sum1/raizk é uma série p com p=1/2<1, diverge. Portanto em x=-1 a série diverge.

Resposta

Raio de convergência: R = 1. Intervalo de convergência: -1 < x \le 1.

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