Determine raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . O conteúdo aqui é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois examinar os extremos.
Passo 2
Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão. Chamando , temos
O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que 1. Logo o raio de convergência é R=1. Isso nos dá converge para |x|<1.
Passo 3
Agora vamos testar os extremos. Primeiro x=1: a série vira sumk=1^infty(-1)^k-1/raizk, que é alternada, os termos 1/raizk decrescem e vão a zero, então converge (teste de Leibniz).
Passo 4
Em x=-1 a série torna-se
sumk=1^infty(-1)^k-1(-1)^kraizk = sumk=1^infty(-1)^2k-11raizk = -sumk=1^infty1raizk
Como sum1/raizk é uma série p com p=1/2<1, diverge. Portanto em x=-1 a série diverge.
Resposta
Raio de convergência: R = 1. Intervalo de convergência: -1 < x \le 1.