Suponha que a função f seja representada pela série de potências
f(x)=1-x2+x^24-x^38+cdots+(-1)^k x^k2^k+cdots
Encontre f(0) e f(1).

Passo 1

O enunciado dá a função f representada por uma série de potências
f(x)=1-x2+x^24-x^38+cdots+(-1)^kx^k2^k+cdots
E pede para calcular f(0) e f(1). O conteúdo aqui é soma de série geométrica e critério de convergência de uma série de potências.

Passo 2

Note que o termo geral da série é
(-1)^kx^k2^k=l(-tfracx2r)^k
ou seja, temos uma série geométrica de razão r=-tfracx2. Essa série converge quando |r|<1, isto é, |x|<2.

Passo 3

Sabendo da soma da série geométrica
sumk=0^infty r^k=11-r
podemos escrever
f(x)=sumk=0^inftyl(-tfracx2r)^k=11-(-x/2)=11+x/2=22+x,
válido para |x|<2.

Passo 4

Para calcular f(0), substituímos x=0 na expressão fechada:
f(0)=22+0=1

Passo 5

Para calcular f(1), note que |1|<2 garante convergência, e substituímos x=1:
f(1)=22+1=23

Resposta

f(0)=1 e f(1)=\frac{2}{3}

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