Faça o que se pede.
d) Diferencie y=x^3 cot ^-1 x3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ y = x^{3} \cot^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) $. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto e a derivada de funções compostas. Para isso, vamos precisar saber derivar potências de $ x $ e a função inversa da cotangente.

Passo 2

Primeiro, identificamos que temos um produto de duas funções: $ u(x) = x^{3} $ e $ v(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) $. Para derivar $ y = u(x) \cdot v(x) $, usamos a regra do produto, que diz:
u(x) = x^3

Passo 3

Vamos calcular $ u’(x) $. A função $ u(x) = x^{3} $ é uma potência, e sua derivada é dada por:
u'(x)

Passo 4

Agora, precisamos derivar $ v(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) $. Sabemos que a derivada de $ \cot^{-1}(z) $ em relação a $ z $ é:
v(x) = cot^-1 ( x3 )
Aqui, $ z = \frac{x}{3} $, então pela regra da cadeia, temos:
cot^-1(z)
Simplificando o denominador:
z
Então:
ddz cot^-1(z) = -11 + z^2

Passo 5

Agora que temos $ u’(x) = 3x^{2} $ e $ v’(x) = -\frac{3}{9 + x^{2}} $, aplicamos a regra do produto:
u'(x) = 3x^2

Passo 6

Simplificando a expressão:
y' = 3x^2 cot^-1 ( x3 ) - 3x^39 + x^2
Podemos fatorar o 3:
y' = 3 [ x^2 cot^-1 ( x3 ) - x^39 + x^2 ]

Resposta

A derivada de $ y = x^{3} \cot^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) $ é:
y = x^3 cot^-1 ( x3 )

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