Faça o que se pede.
d) Diferencie
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d) Diferencie
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ y = x^{3} \cot^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) $. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do produto e a derivada de funções compostas. Para isso, vamos precisar saber derivar potências de $ x $ e a função inversa da cotangente.
Passo 2
Primeiro, identificamos que temos um produto de duas funções: $ u(x) = x^{3} $ e $ v(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) $. Para derivar $ y = u(x) \cdot v(x) $, usamos a regra do produto, que diz:
Passo 3
Vamos calcular $ u’(x) $. A função $ u(x) = x^{3} $ é uma potência, e sua derivada é dada por:
Passo 4
Agora, precisamos derivar $ v(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) $. Sabemos que a derivada de $ \cot^{-1}(z) $ em relação a $ z $ é:
Aqui, $ z = \frac{x}{3} $, então pela regra da cadeia, temos:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 5
Agora que temos $ u’(x) = 3x^{2} $ e $ v’(x) = -\frac{3}{9 + x^{2}} $, aplicamos a regra do produto:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar o 3:
Resposta
A derivada de $ y = x^{3} \cot^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) $ é: