Seja
.
A curva
é plana?
A curva
Passo 1
O enunciado nos deu a curva no espaço
e nos pediu para verificar se ela é plana. O conteúdo principal aqui é geometria diferencial de curvas: para mostrar que uma curva é plana basta mostrar que ela está contida em um mesmo plano (por exemplo escrevendo uma equação linear que vale para todos os
) ou calcular sua torção e verificar que ela é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as componentes de
. Temos
Passo 3
Em seguida, somamos as três componentes para ver se surge uma relação do tipo
. Calculamos
Passo 4
Isso mostra que para todo
vale
ou seja, todos os pontos de
estão contidos no plano de equação
.
Portanto, a curva é plana, pois se encontra inteiramente nesse plano.
Portanto, a curva
Resposta
Sim. A curva é plana porque todos os pontos satisfazem a equação do plano x+y+z=1.