Seja alpha(t)=(13, 13, 13)+(-raiz33 cos t+13 sen t, raiz33 cos t+13 sen t,-23 sen t), com t in[0,2 pi].
A curva alpha é plana?

Passo 1

O enunciado nos deu a curva no espaço alpha:[0,2pi]toR^3 e nos pediu para verificar se ela é plana. O conteúdo principal aqui é geometria diferencial de curvas: para mostrar que uma curva é plana basta mostrar que ela está contida em um mesmo plano (por exemplo escrevendo uma equação linear que vale para todos os t) ou calcular sua torção e verificar que ela é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as componentes de alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)). Temos
x(t)=tfrac13 -tfracraiz33cos t + tfrac13sin t,
y(t)=tfrac13 +tfracraiz33cos t + tfrac13sin t,
z(t)=tfrac13 -tfrac23sin t

Passo 3

Em seguida, somamos as três componentes para ver se surge uma relação do tipo x+y+z=constante. Calculamos
x(t)+y(t)+z(t) =l(tfrac13+tfrac13+tfrac13r) +l(-tfracraiz33cos t+tfracraiz33cos tr) +l(tfrac13sin t+tfrac13sin t-tfrac23sin tr) =1+0+0 =1

Passo 4

Isso mostra que para todo t vale
x(t)+y(t)+z(t)=1,
ou seja, todos os pontos de alpha estão contidos no plano de equação x+y+z=1.
Portanto, a curva alpha é plana, pois se encontra inteiramente nesse plano.

Resposta

Sim. A curva é plana porque todos os pontos satisfazem a equação do plano x+y+z=1.

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