Resolva o PVI abaixo usando Transformadas de Laplace:
y^prime prime+2 y^prime+5 y=0 ; y(0)=2 ; y^prime(0)=-1.
f(t)=L^-1F(s) F(s)=Lf(t)
e^a t 1s-a, s>a
e^a t sin b t b(s-a)^2+b^2, s>a
e^a t cos b t s-a(s-a)^2+b^2, s>a
t^n e^a t, n inteiro positivo n!(s-a)^n+1, s>a
Table 1: Transformadas de Laplace para o exercício 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de segunda ordem
y'' + 2y' + 5y = 0, y(0)=2, ; y'(0)=-1
O conteúdo é transformada de Laplace (TL) e suas propriedades para derivadas. Vamos usar
Ly'(t) = sY(s) - y(0)
Ly''(t) = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)
onde Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Ly'' + 2Ly' + 5Ly = 0
Substituindo as fórmulas de derivada:
(s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 2(sY(s) - y(0)) + 5Y(s) = 0

Passo 3

Agora inserimos as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1:
(s^2Y(s) - 2s + 1) + 2(sY(s) - 2) + 5Y(s) = 0
Agrupando termos em Y(s) e constantes:
Y(s)(s^2 + 2s + 5) + (-2s +1 -4) = 0
Logo
Y(s)(s^2 + 2s + 5) - (2s+3) = 0
Y(s) = 2s+3s^2+2s+5

Passo 4

Para inverter a transformada, completamos o quadrado no denominador:
s^2+2s+5 = (s+1)^2 + 4
E reescrevemos o numerador em função de s+1:
2s+3 = 2(s+1) + 1
Assim
Y(s) = 2(s+1)(s+1)^2+4 + 1(s+1)^2+4

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa usando a tabela:
L^-1tfracs-a(s-a)^2+b^2 = e^atcos(bt)
L^-1tfracb(s-a)^2+b^2 = e^atsin(bt)
Aqui a=-1 e b=2. Logo:
y(t) = 2e^-tcos(2t) + 12 e^-tsin(2t)

Passo 6

Finalizamos a solução do PVI obtendo a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Resposta

y(t) = 2e^-tcos(2t) + tfrac12e^-tsin(2t)

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