Seja f: C C uma função holomorfa tal que Re(f(z)) >= 0 para todo z in C. Prove que f é constante. Sugestão: analise g: C C definida por g(z)=1exp (f(z)).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ que é holomorfa, ou seja, é analítica em todo o plano complexo. Além disso, sabemos que a parte real de $ f(z) $ é sempre maior ou igual a zero para qualquer número complexo $ z $. Nosso objetivo é provar que essa função $ f $ é constante em todo o plano complexo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos importantes:
  • Função holomorfa: uma função que é diferenciável em todos os pontos do plano complexo.
  • Parte real da função: a parte real de um número complexo $ f(z) = u(z) + i v(z) $ é $ u(z) $.
  • Teorema de Liouville: afirma que toda função holomorfa limitada em todo o plano complexo é constante.
Vamos começar a resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova função $ g(z) $ com base na função $ f(z) $ fornecida. A sugestão é usar:
g(z)
Isso significa que estamos tomando a exponencial de $ f(z) $ e, em seguida, invertendo esse valor.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ g(z) $ que definimos. Sabemos que:
g(z)
Isso implica que:
Re(f(z)) >= 0
A magnitude de $ \exp(f(z)) $ é:
exp(f(z)) = exp(u(z) + i v(z)) = exp(u(z)) (cos(v(z)) + i sin(v(z)))
Como $ u(z) \geq 0 $, temos:
exp(f(z))
Portanto:
|exp(f(z))| = exp(u(z))
Isso nos diz que a função $ g(z) $ é limitada por 1 em todo o plano complexo.

Passo 4

Sabemos que $ f(z) $ é uma função holomorfa em $ \mathbb{C} $, então $ \exp(f(z)) $ também é holomorfa em $ \mathbb{C} $. Como a função inversa de uma função holomorfa (quando não é zero) também é holomorfa, concluímos que $ g(z) $ é holomorfa em $ \mathbb{C} $.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Liouville, que diz que qualquer função holomorfa que é limitada em todo o plano complexo deve ser constante. Vimos que $ |g(z)| \leq 1 $ para todo $ z \in \mathbb{C} $, o que significa que $ g(z) $ é uma função holomorfa limitada.
Portanto, pelo Teorema de Liouville:
|g(z)| <= 1 é

Passo 6

Se $ g(z) $ é constante, então:
g(z)
Isso implica que:
1exp(f(z)) = constante
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados:
exp(f(z)) = constante
Porque o logaritmo de uma constante é outra constante.

Resposta

Portanto, a função $ f(z) $ é constante em todo o plano complexo.

Exercícios relacionados