Seja
uma função holomorfa tal que
para todo
. Prove que
é constante. Sugestão: analise
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ que é holomorfa, ou seja, é analítica em todo o plano complexo. Além disso, sabemos que a parte real de $ f(z) $ é sempre maior ou igual a zero para qualquer número complexo $ z $. Nosso objetivo é provar que essa função $ f $ é constante em todo o plano complexo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos importantes:
- Função holomorfa: uma função que é diferenciável em todos os pontos do plano complexo.
- Parte real da função: a parte real de um número complexo $ f(z) = u(z) + i v(z) $ é $ u(z) $.
- Teorema de Liouville: afirma que toda função holomorfa limitada em todo o plano complexo é constante.
Vamos começar a resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma nova função $ g(z) $ com base na função $ f(z) $ fornecida. A sugestão é usar:
Isso significa que estamos tomando a exponencial de $ f(z) $ e, em seguida, invertendo esse valor.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ g(z) $ que definimos. Sabemos que:
Isso implica que:
A magnitude de $ \exp(f(z)) $ é:
Como $ u(z) \geq 0 $, temos:
Portanto:
Isso nos diz que a função $ g(z) $ é limitada por 1 em todo o plano complexo.
Passo 4
Sabemos que $ f(z) $ é uma função holomorfa em $ \mathbb{C} $, então $ \exp(f(z)) $ também é holomorfa em $ \mathbb{C} $. Como a função inversa de uma função holomorfa (quando não é zero) também é holomorfa, concluímos que $ g(z) $ é holomorfa em $ \mathbb{C} $.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Liouville, que diz que qualquer função holomorfa que é limitada em todo o plano complexo deve ser constante. Vimos que $ |g(z)| \leq 1 $ para todo $ z \in \mathbb{C} $, o que significa que $ g(z) $ é uma função holomorfa limitada.
Portanto, pelo Teorema de Liouville:
Passo 6
Se $ g(z) $ é constante, então:
Isso implica que:
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados:
Porque o logaritmo de uma constante é outra constante.
Resposta
Portanto, a função $ f(z) $ é constante em todo o plano complexo.