1. Dizemos que uma função f cresce mais rápido que uma função g se lim x infty f(x)g(x)=infty e que f cresce mais devagar que g se lim x infty f(x)g(x)=0.
    Use a Regra de L’Hôpital para determinar qual das 3 funções seguintes cresce mais rápido e qual cresce mais devagar:
    (i) f(x)=e^x^2;
    (ii) g(x)=log 3 x;
    (iii) h(x)=raizx^3.

Passo 1

O enunciado nos dá três funções
f(x)=e^x^2, g(x)=log3x, h(x)=raizx^3=x^3/2
e define que, para duas funções u,v, u cresce mais rápido que v se
limxtoinftyu(x)v(x)=infty
e cresce mais devagar se
limxtoinftyu(x)v(x)=0
Vamos usar a Regra de L’Hôpital para comparar g com h e depois h com f.

Passo 2

Comparando g e h, consideramos
g(x)h(x) =ln x / ln 3x^3/2
que é do tipo infty / infty. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
numerador \quad l(ln x / ln 3r)' = tfrac1x ln 3,
denominador \quad l(x^3/2r)' = tfrac32 x^1/2.
Logo
limx to infty g(x)h(x) = limx to infty 1x ln 332 x^1/2 = 23 ln 3 , limx to infty x^-3/2 = 0
Isso mostra que g cresce mais devagar que h, ou seja, h cresce mais rápido que g.

Passo 3

Comparando h e f, consideramos
h(x)f(x) = x^3/2e^x^2
novamente do tipo infty / infty. Aplicando L’Hôpital:
numerador \quad l(x^3/2r)' = tfrac32 x^1/2,
denominador \quad l(e^x^2r)' = 2x , e^x^2.
Assim
limx to infty h(x)f(x) = limx to infty 32 x^1/22x , e^x^2 = 34 , limx to infty x^-1/2 e^-x^2 = 0
Isso mostra que h cresce mais devagar que f, ou seja, f cresce mais rápido que h.

Passo 4

Da Passo 2 e Passo 3 concluímos a ordem de crescimento
g(x)ll h(x)ll f(x)
quando xtoinfty.

Resposta

A função que cresce mais rápido é f(x)=e^x^2 e a que cresce mais devagar é g(x)=log3x.

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